为什么更改总和顺序会返回不同的结果？

也许这个问题很愚蠢，但为什么简单地改变元素的顺序会影响结果呢？

它将根据值的大小更改值四舍五入的点。作为我们所看到的那种事情的一个例子，让我们假设我们使用的是具有 4 个有效数字的十进制浮点类型而不是二进制浮点类型，其中每个加法都以“无限”精度执行，然后四舍五入到最接近的可表示数字。这里有两个总和：

1/3 + 2/3 + 2/3 = (0.3333 + 0.6667) + 0.6667
                = 1.000 + 0.6667 (no rounding needed!)
                = 1.667 (where 1.6667 is rounded to 1.667)

2/3 + 2/3 + 1/3 = (0.6667 + 0.6667) + 0.3333
                = 1.333 + 0.3333 (where 1.3334 is rounded to 1.333)
                = 1.666 (where 1.6663 is rounded to 1.666)

我们甚至不需要非整数来解决这个问题：

10000 + 1 - 10000 = (10000 + 1) - 10000
                  = 10000 - 10000 (where 10001 is rounded to 10000)
                  = 0

10000 - 10000 + 1 = (10000 - 10000) + 1
                  = 0 + 1
                  = 1

这可能更清楚地表明，重要的部分是我们有有限数量的有效数字 - 而不是有限数量的小数位。如果我们可以始终保持相同的小数位数，那么至少通过加法和减法，我们会很好（只要值没有溢出）。问题是当你得到更大的数字时，会丢失更小的信息——在这种情况下，10001 被四舍五入到 10000。 （这是 Eric Lippert noted in his answer 问题的一个示例。）

请务必注意，右侧第一行的值在所有情况下都是相同的 - 因此，尽管了解您的十进制数（23.53、5.88、17.64）不会完全表示为 double 很重要值，这只是一个问题，因为上面显示的问题。

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这是二进制中发生的事情。众所周知，一些浮点值不能用二进制精确表示，即使它们可以用十进制精确表示。这 3 个数字只是这一事实的例子。

使用这个程序，我输出每个数字的十六进制表示和每次加法的结果。

public class Main{
   public static void main(String args[]) {
      double x = 23.53;   // Inexact representation
      double y = 5.88;    // Inexact representation
      double z = 17.64;   // Inexact representation
      double s = 47.05;   // What math tells us the sum should be; still inexact

      printValueAndInHex(x);
      printValueAndInHex(y);
      printValueAndInHex(z);
      printValueAndInHex(s);

      System.out.println("--------");

      double t1 = x + y;
      printValueAndInHex(t1);
      t1 = t1 + z;
      printValueAndInHex(t1);

      System.out.println("--------");

      double t2 = x + z;
      printValueAndInHex(t2);
      t2 = t2 + y;
      printValueAndInHex(t2);
   }

   private static void printValueAndInHex(double d)
   {
      System.out.println(Long.toHexString(Double.doubleToLongBits(d)) + ": " + d);
   }
}

printValueAndInHex 方法只是一个十六进制打印机助手。

输出如下：

403787ae147ae148: 23.53
4017851eb851eb85: 5.88
4031a3d70a3d70a4: 17.64
4047866666666666: 47.05
--------
403d68f5c28f5c29: 29.41
4047866666666666: 47.05
--------
404495c28f5c28f6: 41.17
4047866666666667: 47.050000000000004

前 4 个数字是 x、y、z 和 s 的十六进制表示。在 IEEE 浮点表示中，位 2-12 表示二进制指数，即数字的小数位数。 （第一位是符号位，其余位为 尾数。）表示的指数实际上是二进制数减去 1023。

提取前 4 个数字的指数：

    sign|exponent
403 => 0|100 0000 0011| => 1027 - 1023 = 4
401 => 0|100 0000 0001| => 1025 - 1023 = 2
403 => 0|100 0000 0011| => 1027 - 1023 = 4
404 => 0|100 0000 0100| => 1028 - 1023 = 5

第一组补充

第二个数字 (y) 的量级较小。将这两个数字相加得到 x + y 时，第二个数字 (01) 的最后 2 位被移出范围，不计入计算。

第二个加法将 x + y 和 z 相加，并将两个相同比例的数字相加。

第二组补充

在这里，x + z 首先出现。它们具有相同的规模，但它们产生的数字在规模上更高：

404 => 0|100 0000 0100| => 1028 - 1023 = 5

第二个添加添加了 x + z 和 y，现在从 y 中删除 3 位以添加数字 (101)。在这里，必须向上取整，因为结果是下一个浮点数向上：4047866666666666 表示第一组加法，而 4047866666666667 表示第二组加法。该错误足以在总数的打印输出中显示出来。

总之，在对 IEEE 数字执行数学运算时要小心。有些表示是不精确的，当尺度不同时，它们会变得更加不精确。如果可以的话，加减类似比例的数字。

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乔恩的回答当然是正确的。在您的情况下，错误不会大于执行任何简单浮点运算时累积的错误。你有一个场景，在一种情况下你得到零错误，而在另一种情况下你得到一个小错误；这实际上并不是那么有趣的场景。一个很好的问题是：是否存在将计算顺序从微小错误变为（相对）巨大错误的情况？答案是肯定的。

考虑例如：

x1 = (a - b) + (c - d) + (e - f) + (g - h);

对比

x2 = (a + c + e + g) - (b + d + f + h);

对比

x3 = a - b + c - d + e - f + g - h;

显然，在精确的算术上，它们是相同的。尝试找到 a、b、c、d、e、f、g、h 的值，以使 x1 和 x2 和 x3 的值相差很大，这很有趣。看看你能不能做到！

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这实际上涵盖的不仅仅是 Java 和 Javascript，而且可能会影响任何使用浮点数或双精度数的编程语言。

在内存中，浮点使用符合 IEEE 754 的特殊格式（转换器提供了比我更好的解释）。

无论如何，这是浮动转换器。

http://www.h-schmidt.net/FloatConverter/

关于操作顺序的事情是操作的“精细度”。

您的第一行从前两个值产生 29.41，这给了我们 2^4 作为指数。

您的第二行产生 41.17，它给我们 2^5 作为指数。

通过增加指数，我们正在失去一个重要的数字，这可能会改变结果。

尝试在最右边打开和关闭 41.17 的最后一位，您可以看到像指数的 1/2^23 这样“微不足道”的东西足以导致这种浮点差异。

编辑：对于那些记得重要数字的人来说，这将属于该类别。有效数字为 1 的 10^4 + 4999 将是 10^4。在这种情况下，有效数字要小得多，但我们可以看到附加了 .00000000004 的结果。

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浮点数使用 IEEE 754 格式表示，该格式为尾数（有效位）提供特定大小的位。不幸的是，这为您提供了特定数量的“分数构建块”，并且某些分数值无法精确表示。

在您的情况下发生的情况是，在第二种情况下，由于评估添加的顺序，添加可能会遇到一些精度问题。我还没有计算出这些值，但例如 23.53 + 17.64 不能精确表示，而 23.53 + 5.88 可以。

不幸的是，这是您必须处理的已知问题。

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我相信这与评估的顺序有关。虽然在数学世界中总和自然是相同的，但在二进制世界而不是 A + B + C = D 中，它是

A + B = E
E + C = D(1)

所以有第二个步骤，浮点数可以下车。

当您更改订单时，

A + C = F
F + B = D(2)

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为了在此处为其他答案添加不同的角度，this SO answer 表明存在进行浮点数学运算的方法，其中所有求和顺序在位级别返回完全相同的值。

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